Nombres
Emploi du mot relatif,
Quand on compare, évalue quelque chose,on le fait par rapport à un point de comparaison, de référence qui a pour valeur zéro. prenons quelques exemples.
- dans un ascenseur le rez de chaussée est noté souvent 0, les étages en dessous -1,-2,... -5, les étages supérieurs +1, +2, +3, ETC
- Pour positionner un point sur terre on indique sa position par rapport au niveau de la mer, le Mont blanc est à + 4809m , la fosse des Marianes est à - 11034 m, il s'agit de la fosse de l'océan pacifique la plus profonde. L'altitude est mesurée en relation à un point de référence, le niveau de la mer, les résultats sont relatifs, pas absolus!
- Pour mesurer la température on dispose de plusieurs mesures possibles qui dépendent des choix des références prises, les résultats seront donc relatifs.
- Le premier exemple est la température mesurée en degré Celsius. 0° C correspondent à la température de la glace fondante, le glaçon qui a fondu en partie et qui flotte dans son eau de fusion. 100 ° C correspondent à la température de l'eau à la pression "normale".
- Le second exemple est le degré
Fahrenheit, et dans Wikipaedia on lit: "Fahrenheit a décidé de
définir son échelle par deux températures de référence : une
température basse, qui sera la plus basse qu’il ait mesurée durant le
rude hiver de 1708 à 1709 dans sa ville natale de Danzig. ....., une
température haute, celle du sang du cheval. Il divise d'abord cet
intervalle en 12 unités avant de se raviser et de subdiviser chacune de
ces unités en 8 degrés. La différence entre les deux températures de
référence est dès lors fixée à 12 × 8, soit 96 degrés (°F)." ce degré
qui a depuis était mieux défini est utilisé dans certains pays (ex pays
du comonwealth, et États unis), 0 ° c correspondent à 32 °F , et 100 °
c à 222 ° F.
- Notons à contrario le Kelvin (qu'on a appelé degré Kelvin) et qui s'écrit maintenant K . Il n'a pas besoin des nombres négatifs, 0 K est le degré absolu, (donc pas relatif). Il correspond à la température la plus basse possible, l'échelle en degré est la même que le Celsius : 0°C =273,15 K , 100 °C = 373,15 K. Les température en kelvin sont toujours positives!
- Pour se situer dans le temps, les hommes définissent une date de référence, l'année zéro, en deça, avant, cette année zéro les dates seront comptées négativement, au delà positivement.
- Le calendrier utilisé
couramment est le calendrier qui utilise comme point zéro la
naissance de Jésus Christ, on dira par exemple -52 (ou 52 avJC) :
bataille d'Alésia, , + 1789 14 juillet, prise de la Bastille.IL existe
bien d'autres calendriers plus ou moins utilisés. on peut citer
celui-ci :
- calendrier musulman,
L’an 1 de ce calendrier a débuté le premier jour de l’Hégire, le 1er
mouharram (le 15 ou le 16 juillet 622 de l’ère chrétienne)
- A la révolution française, voulant effacer les pratiques
antérieures le calendrier
révolutionnaire a été créé. L' an 1 commence à la date de
déclaration de la république 22 septembre 1792 .
- Quand on veut écrire le montant d'une dette on utlise un nombre
négatif souvent écrit en rouge exemple : -18.5
€,
- ETC
Ce fichier visualise avec l'image du thermomètre les entiers relatifs et montre en complément l'addition de ceux ci.
- nombre décimal, pour
comprendre cette écriture observez ce
fichier .
- nombres relatifs. Ce fichier permet de visualiser en s'aidant de vecteur l'addition des nombres relatifs. Pour s’entraîner, ce fichier propose de définir deux nombres relatifs, en déplaçant les points l'un vert, l'autre bleu. Il est suggéré de calculer la somme et la soustraction telles qu'elles apparaissent, pour vérifier et comprendre il suffit de cliquer sur le point d'interrogation. Pour relancer avant de choisir d'autres nombres cliquez sur "retour" et les 2 "?" cachent à nouveau les résultats.
Fractions
- description,
selon Wikipédia, "Une fraction est une division
non effectuée entre deux nombres entiers relatifs". Une fraction , un nombre
fractionnaire, est constituée d'un trait horizontal ― (ou oblique )
avec, au-dessus et au-dessous, des nombres , respectivement appelés
numérateur et dénominateur. Prendre les 3/4 d'une tarte c'est fractionner, couper, rompre celle ci
en 4 parties égales, et en prendre 3 parties. On coupe,
fractionne en parties égales puis on prend un
certain nombre de parties.
-
dénominateur,
numérateur: Le dénominateur donne son nom à la fraction . Il est situé
sous le trait de fraction qui doit
être dans le prolongement du signe égal = comme le
montre la figure ci contre. Le dernier calcul est effectué pour la
fraction située devant le signe égal. De même que le numérateur a pour
origine, racine , nom, Numérateur fait penser à
numération, numérique, nombre , numéraire. Il désigne une quantité dont
le nom est défini par le dénominateur. On ne peut additionner ou
soustraire deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur. De même
que 3 vaches et 2 moutons restent "3 vaches et 2 moutons", ce
sont 5 animaux ou 5 mammifères, animal, mammifère sont des noms
"communs " à vache et mouton, des dénominateurs commun à vache et
mouton. Autrement dit: quand on observe une fraction on lit le nombre
en dessous du trait, ce nombre donne son nom à la fraction, puis on
observe le nombre situé au dessus, il désigne la quantité dont le nom
vient d'être décrit.
Une règle fondamentale pour les fractions:
La valeur d'une fraction ne change pas si on multiplie ( ou si on
divise ) son numérateur et son
dénominateur par un même
nombre entier non nul. Cette
règle est fondamentale pour simplifier une fraction, ou pour pouvoir
additionner , soustraire,comparer des fractions en leur
cherchant un même dénominateur afin d'effectuer l'opération envisagée.
Quand on veut simplifier une fraction, c'est à dire faire en sorte que numérateur et dénominateur soient plus petits, sans pour autant changer la valeur de la fraction, il suffit de diviser numérateur et dénominateur par le même nombre. Le diviseur le plus grand possible pour réduire la fraction concernée est le Plus Grand Commun Diviseur(pgcd).
Quand on veut
transformer des fractions pour qu'elles aient le même dénominateur on
multipliera chaque numérateur et dénominateur par un
nombre, bien choisi, pour chaque fraction. A la fin tous les
dénominateurs seront identiques et minimum. Le
multiplicateur ne peut être nul, égal à zéro, car alors le dénominateur
serait nul, égal à zéro. Ces fractions pourront alors être additionnées
ou soustraites. Cet aspect concerne le plus petit commun multiple
(PPCM). pour additionner , soustraire, comparer des fractions on
cherchera le plus petit commun multiple des dénominateurs, afin
de donner, aux fractions un même dénominateur qui soit minimum.
La comparaison des fractions est possible, après les avoir
réduites au même dénominateur, la plus grande est celle dont le
numérateur est le plus grand.
Le fichier ci joint visualise deux fractions représentées par des portions de disque dont on peut modifier le fractionnement (dénominateur) et le nombre de "parts"(numérateur). Pour additionner ou soustraire ces parts , on va les rendre comparables puis les additionner ou soustraire, selon le mode d'emploi suivant:
Additionner et soustraire deux fractions visuellement.
4 curseurs permettent de modifier les numérateurs et dénominateurs des 2 fractions qui vont être additionnées ou soustraites.l'addition est prévue par défaut. Cochez la case "soustraction" pour activer la soustraction. déplacer le curseur pour superposer les cercles.
Cochez la case "plus petit dénominateur commun" pour découper les disques de façon compatible, en cochant vous faites apparaitre le curseur réponse.
Faites glisser "réponse" pour visualiser les résultats (y compris la simplification).
- pgcd,
ppcm. Aspect pratique
Parmi les nombres
entiers certains ne sont divisibles que par eux-même et l'unité. Ce
sont des nombres premiers, le
tableau ci contre montre les premiers nombres premiers. et en cliquant ici
vous obiendrez la liste des nombres premiers inférieurs à 400. D'autres
sont des multiples de un ou plusieurs nombres premiers.Il existe des
règles de divisibilité par certains nombres qu'il faut connaître avant
d'envisager de passer le Brevet:
- divisibilité par 2, un nombre est divisible par 2 quand il se
termine par 0 ou un chiffre pair( 2,4,6,8)
- divisibilité par 3, un nombre est divisible par 3 quand la somme des chiffres qui le constituent est divisible par 3. exemple 21 est divisible par 3 car 2+1=3
- Divisibilité par 4, un nombre est divisible par 4
quand le nombre constitué par les deux derniers chiffres est
divisible par 4, (0.4, 0.8, 12, 16, 20 ...76, 80, 84,88,92,96.
- divisibilité par 5, un nombre est divisible par 5 quand,
il se termine par 0 ou 5.
- divisibilité par 9, un nombre est divisible par 9 quand la
somme des chiffres qui le constituent est divisible par 9. exemple 72
est divisible par 9 car 7+2=9 . ETC
- les critères ci-dessus sont ceux qu'il est impératif de
connaître, mais on peut aller au delà, comme le fait ce
site en donnant d'autres critères, dont je reprends celui ci : un nombre est divisible par 11 lorsque
la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des
chiffres de rang impair est un multiple de 11, et 0 est le premier
multiple de 11. ETC
Il existe plusieurs façons d'aborder le calcul du PGCD de 2 nombres.
- En utilisant l'algorithme d'Euclide décrit dans l'extrait de l'article Wikpédia quelque peu complété, attention le fichier risque de s'ouvrir sur le complément, en dernière page! On peut utiliser le logiciel Algobox pour mettre en oeuvre cet algorithme, il est ici, appliqué à 21 et 15 d'une part et à 7700 et 3185 d'autre part. Dans le site Geogebra on trouve des fichiers qui illustrent bien de façon géométrique cette question , "Dans la tradition grecque, en comprenant un nombre entier comme une longueur et un couple d'entiers comme un rectangle, leur PGCD est la longueur du côté du plus grand carré permettant de carreler entièrement ce rectangle". Découvrez ici un tel fichier, Avec les deux curseurs il est possible de faire varier les nombres dont on recherche le PGCD, ces 2 nombres définissent les longueurs des côtés d'un rectangle, le pgcd est la longueur du carré recherché.
- En utilisant l'algorithme de Euclide et le logiciel "libre" Scratch , voici son script et le lien pour le télécharger , il
ne démarrera pas automatiquement.
- Avec géogébra, en utilisant la zone saisie, on
peut faire apparaître dans la fenêtre algèbre le PGCD correspondant
comme le décrit ce
fichier.
- Avec un tableur, avec libreoffice la commande =PGCD(nombre1,
nombre2, nombre 3 etc) permet de connaître le plus grand commun
diviseur de nombres, pas forcément limité à 2. La simplification d'une
fraction passe par la seule recherche du PGCD de 2 nombres, le
numérateur et le dénominateur.
En
décomposant, pas à pas, chaque nombre en facteurs de nombres premiers,
puis en identifiant les nombres premiers
communs à chaque décomposition, le PGCD est le produit de ces
nombres premiers à la puissance
minimale rencontrée.
En synthèse voici la visualisation de ce qui est écrit plus haut, en
utlisant 2 nombres 36036 et 16830.
Dans un fichier libreoffice ( tableur) on voit :
le pgcd de ces 2 nombres obtenus:
- en utilisant la fonction PGCD de libreoffice, l'ouverture du fichier *.ods permet de voir comment s'écrit cette fonction.
- en utilisant le tableur : pas à pas à pas, en exploitant, au passage, la fonction QUOTIENT du tableur, on parvient à obtenir le PGCD
- en décomposant pas à pas en nombre premier, avec l'aide de critères de divisibilité, puis en sélectionnant les diviseurs communs.
Un peu plus loin avec Geogebra,
on peut obtenir la décomposition en nombre premier d'un nombre par 2
commandes :
Première commande : Facteurs[]
qui donne le résultat
sous la forme d'une matrice
la
matrice se comprend ainsi 60=2²*3*5 ,
la première colonne donne les nombres premiers facteurs,
la deuxième colonne donne la puissance du facteur de la ligne, exemple
ici 2 est à la puissance 2.
Deuxième commande : Facteurs Premiers[]
qui donne
le résultat sous la forme d'une liste
ici
la liste1 donne 60=2*2*3*5
Enfin une commande
qui liste tous les diviseurs possible d'un nombre, c'est à dire toutes les combinaisons possibles des nombres premiers diviseurs à la puissance où ils se trouvent. Ci dessous le cas de 60:
qui donne
60
est divisible par 1, 2, ,3,4 (2*2), 5, 6(2*3), 10,
12(2*2*3),15,20(2*2*5),30,60
L'image ci contre
montre la commande ListeDiviseurs pour 42 et le résultat.
Le pgcd de plus de 2 nombres.
On a l'habitude de ne penser qu'au PGCD de 2 nombres, parce qu'on pense aux fractions et à leur simplification. Mais une liste de nombres a un PGCD , La méthode d'Euclide ne convient pas au delà de 2 nombres. Il faut se rabattre sur 3 autres solutions.Décompostion de chaque nombre en facteurs premiers, Le PGCD est la multiplication des facteurs premiers communs à tous les nombres à la plus faible puissance trouvé.
Le
tableur libreoffice avec la commande PGCD(nombre entier1, ...,...)
donne le plus grand commun diviseur à une liste de nombre telle que (
12;45;25)
Avec Géogébra , la commande PGCD[<liste nombres> que l'on renseigne ainsi PGCD[{105,75,135}], donne pour résulat 15.
105=15*7;75=15*5;135=15
Application pratique:
Un fleuriste a un lot de 105 roses, 75 tulipes, 135 glaïeuls. Il veut créer le maximum de bouquets constitués par ces fleurs, tous les bouquets étant constitués de la même proportion de chaque fleur, combien de bouquets peut il réaliser???Réponse : le diviseur commun maximum est 15 , il peut réaliser 15 bouquets composés de 7 roses, 5 tulipes et 3 glaïeuls.(105=3*5*7; 75=3*5*5; 45=3*3*5)
Les différentes formes d'une même grandeur,
un nombre entier , fractionnaire , décimal peut être écrit sous
d'autres formes . Le tableau ci-dessous montre colonne A des nombres,
ils peuvent s'écrire sous d'autre forme, essayez de relier les
nombres colonne A à leur ou leurs correspondant colonne B ? tous les
nombres colonne A ont au moins une correspondance colonneB , à
l'inverse un ou des nombres de B ne correspondent à rien de la Colonne
A.
En cliquant ici, vous obtiendrez un tableau ou seront reliés par un trait rouge le ou les bonnes correspondances
EEt pour comprendre vous trouverez ici l'explication des bonnes réponses avec un rappel des règles qu'il faut connaître pour bien identifier toutes les correspondances possibles.
Proportionnalité, π
Deux
grandeurs sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à
l'autre en la multipliant ou en la divisant par un même nombre constant
non nul. Dans le cas où l'on effectue une multiplication, cette valeur
constante est appelée coefficient de proportionnalité. On
rencontre partout des cas de proportionnalité, ci dessous des
exemples courants. π est le coefficient de proportionnalité
exemplaire.
Le tableau ci dessous donne quelques masses volumiques
Thalès
Le théorème de Thalès
permet d’illustrer la proportionnalité comme le montre le fichier Géogébra construit
selon cet énoncé : Soit un angle de sommet O, sur premier côté
deux segments OA de longueur 1 et OB de longueur modifiable à
l'aide d'un curseur. Sur l'autre côté de l'angle α le segment OC de
longueur modifiable à l'aide d'un curseur. Soit la parallèle au segment
OA passant par B et coupant la demi droite OC en D. Qu'en conclure pour
la longueur OD, les rapports OB/OA, OD/OC, AC/CD? Montrez que OD est
proportionnel à OC, quel est le coefficient de proportionnalité? En
faisant varier la mesure de l'angle α il est possible de modifier les
plages des paramètres.
Calcul littéral
Equations
Ce fichier présente la résolution simple d'équations du premier degré, Il présente un résumé de la résolution simple par le calcul de l'équation, et en même temps une représentation graphique de celle ci, en considérant que la solution est l'abscisse du point d'intersection des deux droites représentant deux fonctions linéaires et ou affines . C'est à dire résoudre 3x+8=-2x+5, c'est représenter les fonction y = 3x+8 et y'=2x+5, la solution est l'abscisse du point d'intersection des deux droites . La seconde méthode fait appel à d'autres notions vues plus bas.Fonctions
Coordonnées.
Ce fichier permet de comprendre ce qu'on entend par coordonnées. En déplaçant le point M vous verrez changer les coordonnées.Pour aller plus loin, s’entraîner, il faut ici déplacer le point à la coordonnée indiquée, quand le point est bien placé le message "Bravo!" apparaît.
Fonction linéaire et affine:
Pour visualiser la différence entre ces deux fonctions cliquez ici , Le fichier montre l'image de y en fonction de x dans la fonction y=ax + b. Ce fichier permet de varier, avec les curseurs, a et b, de -10 à 10, par intervalle de 0.2, vous ferez apparaître les cas de figures possibles selon les valeurs de a et b et les commentaires s'adapteront à ces situations.Pour s’entraîner à positionner des points d'une représentation graphique de ces fonctions un outil est proposé, le jeu consiste à positionner deux points de la droite en fonction de l'expression qui apparaît, j'ai, dans la mesure du possible, francisé le document original.
Pour apprendre à évaluer la pente de ces deux fonctions ce fichier présente des droites dont il faut calculer la pente.
Résolution "graphique" des systèmes de deux équations à 2 inconnues:
Deux outils permettent d'aborder cette question.
Le premier propose de chercher la solution au système d'équation
ax +by=c
a'x+b'y=c
Où a, b,c, a', b', c' prennent des valeurs aléatoires. On peut chercher la solution, puis la vérifier en cliquant sur "afficher la solution ". Elles est affichée sous la forme (la solution pour x, la solution pour y), c'est à dire les coordonnées du point d'intersection des 2 droites.
Le second propose d'écrire deux équations, de faire apparaître la solution du système, comme ci-dessus.