Sur une feuille de papier, un tableau nous avons un morceau d'un plan, c'est à dire une surface "plane " comme la surface de l'eau "tranquille" dans une bassine, un récipient quelconque, un étang , un lac. Un plan est infini, la surface du tableau , d'une feuille de papier , de l'écran d'ordinateur sont un tout petit morceau de plan. sur le plan on peut y dessiner :
Deux demi-droites qui ont même extrémités forment un angle, les deux
demi-droites en sont les côtés, l'extrémité commune en est le sommet.
On qualifie ces angles en fonction de leur "ouverture" comme
vous le
verrez
avec ce fichier ggb ici. Bougez le curseur pour faire varier
l'angle alpha, une demi droite reste fixe, la seconde qui a même
extrémité que la première , le sommet O de l'angle, va pivoter autour de
0. Vous découvrirez les différents noms des angles, les angles saillants
et leurs appellation, les angles rentrants selon leur "ouverture".
Angles opposés la figure
tirées du site Géogébra montre ce que sont des
angles opposés par le sommet et leurs propriétés, selon la
position du curseur: complètement à gauche ou à droite.
Construction. On observe souvent que l'apprenant, pour construire la médiatrice d'un segment, prend pour seul écartement du compas la longueur du segment , il construit plus ou moins pécisément les 2 sommets de 2 triangles équilatéraux, sans savoir qu'il s'agit de ceux-ci. les trois fichiers proposés tendent à s'adapter à la figure telle qu'elle est, sur le papier, et à rechercher une construction précise en construisant 2 points de la médiatrice, aussi éloignés l'un de l'autre, donc équidistants des extrémités du segment:
Ce fichier montre
la construction à la règle et au compas d'une droite parallèle à une
autre et passant par un Point B . Ici construction, passant par B, de la
droite parallèle à la droite AA1. Pour suivre la démarche placer de
curseur t sur 0, puis déplacer jusque 6, le descriptif du processus
apparaît et le paragraphe est précédé du nombre suivi de/. La
construction repose sur les propriétés d'une sécante à deux droites
parallèles et l'égalité des angles alterne interne et de sa réciproque.
Le théorème de
Pythagore, grand classique du collège. L'énoncé du théorème de
pythagore , "dans
un triangle rectangle le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés"
génère chez les apprenants une série d'énoncés qui n'ont rien à voir
avec ce dernier. Plus long à dire, mais dit autrement: Dans
un triangle rectangle l'aire( surface) du carré ayant pour côté
l'hypothénuse, est égale à la somme des aires (surfaces)
des carrés ayant pour côté les deux autres côtés du triangle
rectangle. On devrait dire en effet : dans
un triangle rectangle le carré de la longueur
de l'ypothénuse est égal à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés.La figure ci-contre montre bien
comment doit se comprendre ce théorème. Le carré
d'une longueur est une surface , il doit être égal à l'addition
d'autres surfaces. Parfois j'entends que le carré de l'hypothénuse est
égal au produit des deux autres côtés, ici on a bien surfce =surface ,
mais c'est faux, bien sûr. L'énoncé, le carré de l'hypothénuse est égal
à la somme des deux autres côtés, est incohérente puisque l'expression
d'une surface est déclarée ici égale à la somme de deux longueurs
m²=m!!. et j'entends souvent cette dernière proposition, on a bien
retenu carré et somme , ensuite on combine au hasard.
Toutes les démonstrations de ce
théorème font intervenir des longueurs " à la puissance
2, donc des surfaces géométriques.
Celle-ci reprend la figure ci
contre, deux "petits carrés" sont déformés, les figures
glissant et déformées vont occuper la totalité de la surface du
carré ayant pour côté l’hypoténuse. Pour suivre la suggestion de
démonstration, cochez la case, les carrés vont se colorer, et en
glissant le curseur les étapes de déformation, glissement vont
apparaître avec les commentaires.
Cette autre, plus
"synthétique " reprend la même démonstration , il suffit d’utiliser la
barre de défilement,en bas de la feuille, de l'étape 0 à 6. On la
retrouve sur le site Géogébra.
Une vidéo sur le net montre, entre autre, comment, avec une corde de de 13 noeux , et 12 segments de corde on peut construire un angle droit .
L'exploitation du théorème de Thalès, appliqué au triangle rectangle,
permet de comprendre les concepts de cosinus, sinus , tangente ...Le
fichier montre 3 triangles rectangles ayant un sommet commun, leur
base opposée à ce sommet sont parallèles, et toutes perpendiculaires
au côté de l'angle α commun. Un curseur permet de faire varier
l'angle α , le tableur affiche les donnés , longueur des côtés, le
calcul des quotients constants, comme celui, par exemple, du côté
opposé divisé par l’hypoténuse, quelque soit la position des trois
perpendiculaires. Il est possible de bouger ces perpendiculaires
en déplaçant les points bleus, en prime remarquer que
sinx²+cosx²=1 !
Pour découvrir le
vocabulaire propre
aux divers éléments du cercle, aller ici. Vous ferez apparaître
chaque élément à l'aide des cases à cocher.
Pour figurer le
rapport entre le diamètre du cercle et son périmètre ( sa
circonférence), c'est à dire le quotient de la division de la
circonférence par le diamètre du cercle , un fichier
montre un cercle, une roue, qui peut faire un tour complet ou partiel.
La distance parcourue en un tour complet correspond au périmètre du
cercle, on observera quand on fait varier le diamètre du cercle, comment
se comporte le rapport distance parcourue/diamètre. Que dire du
rapport Circonférence/ diamètre du cercle
Deux fichiers proposent d'illustrer,
en deux temps, ce qu'est la surface du disque: Le
premier consiste en une animation qui permet de comprendre ce que
vaut la surface en fonction du rayon. Il suffit de lancer l'animation ,
le "cercle" de droite va se transformer en un triangle. Trois questions
(en anglais) apparaissent alors.
L'observation
des arcs montre qu'il s'agit de demi-cercles. L'outil Géogébra permet de
construire des demi-cercles, il suffit de connaître les extrémités qui
sont les extrémités du diamètre A' et A. A' est construit en créant le
symétrique de A dans la symétrie centrale de centre O, A' et A
sont sélectionnés dans cet ordre dans l'utilisation de l'outil Géogébra.
On crée de même B', symétrique de B dans la symétrie centrale de
centre I . Puis le demi cercle B'B est construit comme A'A. La première
figure qui sera reproduite 2 fois par symétrie axiale est terminée en
faisant "subir" aux deux demi-cercles une symétrie centrale de centre O,
Comme le montre l'image ci-dessous. le demi-cercle bleu pointillé est le
symétrique de B'B dans la symétrie centrale de centre O. Idem pour le
demi-cercle rouge pointillé par rapprt à B'1 . Il va falloir
répéter 2 fois cette figure , pour cela il faut construire les axes
auxiliaires de symétrie perpendiculaires à la droite AO .
Une fois le premier axe de symétrie réalisé on peut procéder de 2 façons différentes :
Deux fichiers permettent d'observer le processus , il suffit pour cela d'utiliser la barre de navigation et de dérouler le processus. Le premier fichier n'exploite pas la notion de regroupement, de liste, le second exploite cette fonctionnalité.
Ce fichier permet de visualiser la différence de comportement d'une
symétrie centrale, axiale et une rotation, observer qu'une rotation de
360°, (demi-tour) se superpose à la symétrie centrale.
Ce fichier explique
comment résoudre ce problème : créer
un semis d'un dessin obtenu par rotation d' un triangle. une
succession de 5 rotations du triangle crée une étoile à 6 branches, une
succession de translations crée le semis. Le fichier final Géogébra est ici. Il
n’utilise que des outils simples, essentiellement graphiques, la fenêtre
algèbre s'étend beaucoup. Le dessin ci-contre est obtenu différemment en
faisant appel à des notions de Géogébra plus complexes que l'on n'
aborde peut-être pas en classe de quatrième , ce sont "liste" et
"séquence", quand on a assimilé ces outils , le résultat est plus
élégant, la fenêtre algèbre ne contient que quelques lignes, mais
est-il compréhensible au premier abord, je n'en suis pas sûr??.
Pour illustrer la translation , nous pouvons reprendre le sujet évoqué au paragraphe symétrie et résoudre la question par des symétries centrales pour la création de la figure de base , puis deux translations comme le montre le fichier et une vidéo qui montre le glissement des figures dans un sens et une longueur donnée.