Maths au collège

Géométrie des figures planes, outils pour comprendre, expliquer.

les figures simples du plan... :

Sur une feuille de papier, un tableau nous avons un morceau d'un plan, c'est à dire une surface "plane " comme la surface de l'eau "tranquille" dans une bassine, un récipient quelconque, un étang , un lac. Un plan est infini, la surface du tableau , d'une feuille de papier , de l'écran d'ordinateur sont un tout petit morceau de plan. sur le plan on peut y dessiner :

points etc
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Angles

Deux demi-droites qui ont même extrémités forment un angle, les deux demi-droites en sont les côtés, l'extrémité commune en est le sommet.

On qualifie ces angles en fonction de leur "ouverture"  comme vous le verrez avec ce fichier ggb ici. Bougez le curseur pour faire varier l'angle alpha, une demi droite reste fixe, la seconde qui a même extrémité que la première , le sommet O de l'angle, va pivoter autour de 0. Vous découvrirez les différents noms des angles, les angles saillants et leurs appellation, les angles rentrants  selon leur "ouverture".

Angles opposés la figure tirées du site Géogébra montre ce que sont des angles opposés par le sommet et leurs propriétés, selon la position du curseur: complètement à gauche ou à droite.

Droites, demi-droites, remarquables

Bissectrice d'un angle

Comment construire une  bissectrice , la demi-droite qui divise un angle en deux angles, adjacents, égaux.
On trouve dans le site Géogebra la description de cette construction, sauf qu'elle fait apparaître deux points supplémentaires, le risque étant qu'en construisant à la règle et au compas l'apprenant, maladroit, inattentif ou peu appliqué trace une droite qui ne passera pas par le sommet sans qu'il en soit gêné. La construction d'un  seul point  suffit puisque la bissectrice passe par le sommet déjà existant, comme le montre une variante qui détaille le processus de construction, pour dérouler la construction utiliser le curseur à droite du titre; peu à peu apparaissent les étapes expliquées de la construction, en faisant varier les rayons des cercles de construction on découvre la façon de faire le bon choix
pour un résultat optimal.

Médiatrice d'un segment:

Construction. On observe souvent que l'apprenant, pour construire la médiatrice d'un segment, prend pour seul écartement du compas la longueur du segment , il construit plus ou moins pécisément les 2 sommets de 2 triangles équilatéraux, sans savoir qu'il s'agit de ceux-ci. les trois fichiers proposés tendent à s'adapter à la figure telle qu'elle est, sur le papier, et à rechercher une construction précise en construisant 2 points de la médiatrice, aussi éloignés l'un de l'autre, donc équidistants des extrémités du segment:

  1. on dipose de place de part et d'autre du segment , on choisit un écartement unique pas forcément égal à la longueur du segment. DEUX fichiers sont proposés voir ce cas "facile". Pour éviter un dessin trop chargé le premier fichier décrit la méthode et permet de visualiser le choix optimum du rayon du cercle. Le second fichier permet de faire défiler pas à pas la construction, il suffit de déplacer le curseur noir.
  2. Le segment, mal placé sur la feuille ne permet pas d’utiliser la méthode simple présentée par les fichiers cités plus haut, un troisième fichier aborde ce cas

Droites parallèles

Ce fichier montre la construction à la règle et au compas d'une droite parallèle à une autre et passant par un Point B . Ici construction, passant par B, de la droite parallèle à la droite AA1. Pour suivre la démarche placer de curseur t sur 0, puis déplacer jusque 6, le descriptif du processus apparaît et le paragraphe est précédé du nombre suivi de/. La construction repose sur les propriétés d'une sécante à deux droites parallèles et l'égalité des angles alterne interne et de sa réciproque.


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Triangles

Le fichier extrait de Wikipedia donne un bon aperçu du vocabulaire et des éléments associés au triangle. Du plus quelconque au plus remarquable, visualisez les triangles et leur qualification en fonction de leur spécificité.
A côté du triangle quelconque, on trouve des triangles qui se distinguent par des propriétés spécifiques:
  1. triangle isocèle
  2. triangle équilatéral
  3. triangle rectangle qui peut être, aussi isocèle.
Quelque soit le triangle, sa spécificité, du plus quelconque au plus remarquable, le périmètre du triangle est toujours la somme des longueurs des 3 côtés. Dans tous les cas
la longueur d'un côté est toujours inférieur à la somme des longueurs des 2 autres côtés. Le chemin, le plus cout, d'un point à un autre est la ligne droite. Un exercice donné en 5e va un peu plus loin. Son énoncé est le suivant :
Soit un triangle ABC tel que AB =6 et BC=9. Sachant que la mesure de AC est un nombe entier, quel est le plus grand périmètre possible pour le triangle ABC, quel est le plus petit périmètre possible. Justifier la réponse. Le fichier Géogébra permet de visualiser les questions et les réponses.
Il est possible de construire 4 familles de droite remarquables et leur intersection , un fichier visualise, ensemble, ou un par un :
Observons la construction, à la règle et au compas, d'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés, quelles sont les contraintes pour 2 des longueurs quand on connait la troisième??

pythagoreLe théorème de Pythagore, grand classique du collège. L'énoncé du théorème de pythagore , "dans un triangle rectangle le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés" génère chez les apprenants une série d'énoncés qui n'ont rien à voir avec ce dernier. Plus long à dire, mais dit autrement: Dans un triangle rectangle l'aire( surface) du carré ayant pour côté l'hypothénuse, est égale à la somme  des aires (surfaces)  des carrés ayant pour côté les deux autres côtés du triangle rectangle. On devrait dire en effet : dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'ypothénuse est égal à la somme des carrés des longueurs  des deux autres côtés.La figure ci-contre montre bien comment doit se comprendre ce théorème.  Le carré d'une longueur est une surface , il doit être égal à l'addition d'autres surfaces. Parfois j'entends que le carré de l'hypothénuse est égal au produit des deux autres côtés, ici on a bien surfce =surface , mais c'est faux, bien sûr. L'énoncé, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des deux autres côtés, est incohérente puisque l'expression d'une surface est déclarée ici égale à la somme de deux longueurs m²=m!!. et j'entends souvent cette dernière proposition, on a  bien retenu carré et somme , ensuite on  combine au hasard.
Toutes les démonstrations de ce théorème font intervenir des longueurs " à la puissance 2,  donc des surfaces géométriques.
Celle-ci reprend la figure ci contre,  deux "petits carrés" sont déformés, les figures  glissant et déformées vont occuper la  totalité de la surface du carré ayant pour côté l’hypoténuse. Pour suivre la suggestion de démonstration, cochez la case, les carrés vont se colorer, et en glissant le curseur les étapes de déformation, glissement vont apparaître avec les commentaires.
Cette autre, plus "synthétique " reprend la même démonstration , il suffit d’utiliser la barre de défilement,en bas de la feuille, de l'étape 0 à 6. On la retrouve sur le site Géogébra.


Une vidéo sur le net montre, entre autre,  comment, avec une corde de de 13 noeux , et 12 segments de corde on peut construire un angle droit .

La réciproque du théorème de Pythagore

Pythagore et sa réciproque avec ScratchLe théorème de Pythagore suppose que si un triangle est rectangle alors les 3 longueurs des côtés du triangle rectangle sont reliées entre elles. Quand on connait 2 dimensions, on peut calculer la troisième.
et réciproquement si le carré de la longueur du plus grands des côtés est égal à la somme des longueurs des 2 autres côtés, le triangle est rectangle et le sommet de l'angle opposé au côté le plus grand est un angle droit.
Ci-contre la fenêtre du fichier  Scratch qui illustre le théorème de Pythagore et sa réciproque, à droite triangle rectangle  bleu, deux côtés sont connus, on peut calculer le troisième; à Gauche triangle orangé un point d'interrogation suggère qu'on ne sait pas si l'angle que l'on soupçonne d'être rectangle l'est vraiment, le script de Scratch déroule cette question. En lien ce script scratch téléchargeable et le fichier pdf qui l'explique.  .
Pour aller plus loin il est utile d'observer ce qui se passe pour le ratio carré de la longueur de l’hypoténuse (ou de la plus grande longueur) / par la somme des longueurs des 2 autres côtés. Le fichie Scratch  aborde cette question, elle est illustrée ici par un fichier Géogébra , observer comment évolue l'angle quand on déplace le sommet C au dela, sur ou à l'intérieur du cercle.


Une vidéo sur le net montre, entre autre,  comment, avec une corde de de 13 noeux , et 12 segments de longueur égale, on peut construire un angle droit, en utilisant  ici la réciproque du théorème de Thalès.

Théorème de Thalès, proportionnalité, Cosinus ...

démonstration visuelle tahlèsLe schéma ci contre montre 3 copies écrans du même fichier Géogébra qui permet, en déplaçant le point rouge au centre ou les points A et D, de faire apparaître différentes positions relatives des sécantes et parallèles sans que l'égalité des rapports soit mise en cause.Un autre fichier , extrait des ressources Géogébra donne sensiblement les mêmes idées.

Sinus, cosinus etc...

L'exploitation du théorème de Thalès, appliqué au triangle rectangle, permet de comprendre les concepts de cosinus, sinus , tangente ...Le fichier montre 3 triangles rectangles ayant un sommet commun, leur base opposée à ce sommet sont parallèles, et toutes perpendiculaires au  côté de l'angle α commun. Un curseur permet de faire varier l'angle α , le tableur affiche les donnés , longueur des côtés, le calcul des quotients constants,  comme celui, par exemple, du côté opposé divisé  par l’hypoténuse, quelque soit la position des trois perpendiculaires. Il est possible de bouger ces   perpendiculaires en  déplaçant les points bleus, en prime remarquer que sinx²+cosx²=1 !


Quadrilatères


Du site Géogebra on y trouve des fichiers qui aident à comprendre :

Cercle

Vocabulaire

vocabulaire du cerclePour découvrir le vocabulaire propre aux divers éléments du cercle, aller ici. Vous ferez apparaître chaque élément à l'aide des  cases à cocher.


Périmètre du cercle.

perimetre pi Pour figurer le rapport entre le diamètre du cercle et son périmètre ( sa circonférence), c'est à dire le quotient de la division de la circonférence par le diamètre du cercle , un fichier montre un cercle, une roue, qui peut faire un tour complet ou partiel.
La distance parcourue en un tour complet correspond au périmètre du cercle, on observera quand on fait varier le diamètre du cercle, comment se comporte le  rapport distance parcourue/diamètre. Que dire du rapport Circonférence/ diamètre du cercle

Surface, aire  du disque, appelé à tort, surface du cercle.

illustration sur cercle Deux fichiers proposent d'illustrer, en deux temps, ce qu'est  la surface du disque: Le premier consiste en une animation qui permet de comprendre ce que vaut la surface en fonction du rayon. Il suffit de lancer l'animation , le "cercle" de droite va se transformer en un triangle. Trois questions (en anglais) apparaissent alors.

  1.  En quoi la suface du cercle (disque) est comparable à celle du triangle?
  2. Utiliser seulement ce que vous avez  observé pour proposer le calcul  de la surface  en utilisant les mots   "circonférence" (du cercle)  et   "rayon". 
  3. Montrer qu'il est possible d'écrire la formule en utilisant seulement le rayon!
 Le second fichier donne les réponses, à l'issue de l'animation.
La première  réponse est "la surface du cercle origine est égale à la surface du triangle formé". Les 2 autres réponses se suffisent.
Attention pour les 2 fichiers cités ci-dessus, la figure doit être au départ constituée de 2 cercles , lancer alors l'animation que vous pouvez intérompre en cliquant sur PAUSE, pour recommencer ou démarrer correctement cliquez sur RESET.
Un autre fichier donne par une animation la compréhension de la valeur de cette surface par une animation astucieuse qu'il convient d'expliquer à l'apprenant.

les transformations


Symétries

Les points intitiaux de l'exerciceL'objectif: en partant de points placés comme indiqué ci contre , créer un dessin constitué d'arcs de cercle , l'ensemble étant réalisé par des opérations de symétrie centrale ou axiale , à partir de deux premiers arc de cercle exploitant  les points indiqués . vision finale du dessin


Création des deux  premiers demi-cercles et de leurs symétriques :

premier demi-cercledeuxieme demi-cercleL'observation des arcs montre qu'il s'agit de demi-cercles. L'outil Géogébra permet de construire des demi-cercles, il suffit de connaître les extrémités qui sont les extrémités du diamètre A' et A. A' est construit en créant le symétrique de A dans la symétrie centrale de centre O,   A' et A sont sélectionnés dans cet ordre dans l'utilisation de l'outil Géogébra. On crée  de même B', symétrique de B dans la symétrie centrale de centre I . Puis le demi cercle B'B est construit comme A'A. La première figure qui sera reproduite 2 fois par symétrie axiale est terminée en faisant "subir" aux deux demi-cercles une symétrie centrale de centre O, Comme le montre l'image ci-dessous. le demi-cercle bleu pointillé est le symétrique de B'B dans la symétrie centrale de centre O. Idem pour le demi-cercle rouge pointillé par rapprt à B'1 . Il va falloir répéter 2 fois cette figure , pour cela il faut construire les axes auxiliaires de symétrie perpendiculaires à la droite AO . preparation symétrie axiale

figure de base


Poursuite de la construction

Une fois le premier axe de symétrie réalisé on peut procéder de 2 façons différentes :

L= {c,c',d,d'}
La liste L est ainsi crée!

Pour créer le symétrique L'  de L on peut procéder de 2 façons :

au final

Deux fichiers permettent d'observer le processus , il suffit pour cela d'utiliser la barre de navigation et de dérouler le processus. Le premier fichier n'exploite pas la notion de regroupement, de liste, le second exploite cette fonctionnalité.


Rotation.

Ce fichier permet de visualiser la différence de comportement d'une symétrie centrale, axiale et une rotation, observer qu'une rotation de 360°, (demi-tour) se superpose à la symétrie centrale.

Translation

semis étoiles à 6 branchesCe fichier explique comment résoudre ce problème : créer un semis d'un dessin obtenu par rotation d' un triangle. une succession de 5 rotations du triangle crée une étoile à 6 branches, une succession de translations crée le semis. Le fichier final Géogébra est ici. Il n’utilise que des outils simples, essentiellement graphiques, la fenêtre algèbre s'étend beaucoup. Le dessin ci-contre est obtenu différemment en faisant appel à des notions de Géogébra plus complexes que l'on n' aborde peut-être pas en classe de quatrième , ce sont "liste" et "séquence", quand on  a assimilé ces outils , le résultat est plus élégant, la fenêtre algèbre ne contient que quelques lignes,  mais est-il compréhensible au premier abord, je n'en suis pas sûr??.

Pour illustrer la translation , nous pouvons reprendre le sujet évoqué au paragraphe symétrie et résoudre la question par des symétries centrales pour la création de la figure de base , puis deux translations comme le montre le fichier et une vidéo qui montre le glissement des figures dans un sens et une longueur donnée.

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