Maths au collège

Les volumes, outils pour comprendre

Introduction 

Il est frappant de constater que souvent les apprenants, quand ils parlent pour la première fois d'une pyramide , ils voient un  triangle, pas un objet plus "complexe". Pour un prisme droit, ils parlent d'un rectangle ou un carré. Ils intègrent mal le passage des figures planes aux "volumes".

Il est très difficile de passer de l'étude des images planes  cercle , triangle , etc figurées sur une feuille de papier ou un tableau , à l'étude de volumes que l'on présente, à plat, sur ces mêmes feuilles ou tableaux. Le lien entre la représentation sur une feuille et l'objet n'est pas évident. La représentation des volumes en perspective cavalière ( voir ci-dessous un extrait de l'article wikipedia sur le sujet)ou la confection des patrons posent problèmes. Les volumes 3D en bois ou en plastic aident, mais il faudrait, souvent, scier le cube  ou la sphère par exemple pour que l'apprenant comprenne ce qu'est cette section, rectangle, cercle.... . Dans cette page , des fichiers Géogébra "3D" ont été sélectionnés et sont présentés, expliqués, ils doivent aider à comprendre ce sujet difficile. "La perspective cavalière est un outil qui permet de représenter sur une feuille de papier (en deux dimensions) des objets qui existent en volume (trois dimensions). Cette représentation ne présente pas de point de fuite : la taille des objets ne diminue pas lorsqu'ils s'éloignent."

Nota :

Géogébra 5 a présenté un dysfonctionnement pendant une longue période : la fenêtre 3D ne fonctionnait pas, aussi dans cette page ,  le lien pointe en premier lieu sur une page web ,  non pas sur un fichier *.ggb, le fichier *.ggb est proposé à la suite, pour ouverture si géogebra 5  ( ou 6) fonctionne ou pour être téléchargé.

Parallélépipède

Pour représenter  un parallélépipède rectangle, encore appelé  pavé droit, on trouve dans le site Geogebra  la visualisation d'un pavé droit , et des cases à cocher permettent de  visualiser des sections , des coupures de ce volumes de différentes manière, le fichier Geogebra* ,ggb  est ici.

bc br2

Cependant , l'apprenant a du mal à intégrer le dessin d'un volume sur une feuille. Quand on lui montre un volume en bois , il ne parvient pas toujours à imaginer, ce que donnerait un pavé coupé en 2.

Le document cité ci-dessus ne suffisant pas toujours, nous avons imaginé la section du pavé, par un plan parallèle à une arête et passant par une diagonale. Dans cette page, quand le curseur k est égal à zéro (k=0) le pavé droit est "entier". Quand k > 0 les deux prismes droits, ainsi formés,  sont plus ou moins éloignés. Une face rectangulaire représentant la section  est visible.  Manipuler la figure 3D pour observer. On peut faire varier les 3 dimensions du pavé.  Imaginons que le volume   est une boite, de dimension l=3, L 4 , H =5 , peut-on y loger un spaghetti de 5 de long ? un bon moyen pour réviser Pythagore ! le fichier *.ggb est ici

Cette  dernière page permet de visualiser la section d'un parallélépipède rectangle par un plan quelconque défini par 3 points déplaçables chacun sur une arête définie, le fichier géogebra est ici.

Pyramide

une première page permet de visualiser une pyramide quelconque, on peut modifier la forme de la base, le nombre de côtés, individuellement la dimension de ceux-ci, mais aussi position du sommet. Spontanément en choisissant le nombre de côtés, la figure formée sera de base régulière et le sommet sera placé sur la perpendiculaire de la base passant par le "centre"  du cercle circonscrit au polygone régulier que constitue la base. A partir de cela on peut déplacer des sommets du polygone et en faire un polygone irrégulier et déplacer le sommet dans l'espace. L'axe de vision est réglable, on peut fermer et ouvrir la pyramide et faire ainsi apparaître le patron de celle ci.le fichier correspondant est ici .

Ce deuxième fichier permet de montrer des pyramides à base régulière

pyramide base truangulaire vu de dessus et profil le fichier correspondant est ici

Cylindre

shéma du cylindre de révolution Pour comprendre ce que Signifie Cylindre de révolution on peut se reporter ici , j' ai extrait de cette page les images ci-jointes et le texte en italique ci-dessous :

 Le mot révolution vient du latin volvere qui signifie « rouler ». Une expérience permet de mieux comprendre l'expression.

A propos de l'expression de révolution. Les fichiers qui suivent vont essayer de figurer pour le cylindre puis le cône et enfin la sphère cette notion, à l'aide de fichiers Géogébra.

Tous les objets "tournés", vase de potier, pièce de bois telle que bobine de fil, bouton de bois, pied de lampe etc sont des objets "de révolution".


Des  vidéos disponibles sur youtube montrent comment sont réalisé des objets tournés, "de révolution" à partir de morceau de bois plus ou moins diformes, voici deux liens :création d'un saladier à partir d'un morceau de tronc d'arbre, création de pièces d'art à partir d'une racine de buis. Dans cette page  , vous pouvez voir se former un cylindre ( de révolution) , un cône ( de révolution) , une sphére à partir, respectivement d'un rectangle, d'un triangle ou d'un demi cercle tournant autour d'un axe bien choisi. Attention quand l'image devient trop floue, vous ne pouvez effacer , fermer et relancer à partir du navigateur, le fichier géogébra est ici .

Cône


Intéressons nous au cône de révolution. pour le décrire et le comprendre, nous verrons, plus loin, le cône quelconque,

trois fichiers sont proposés pour celà.

Image d'un cone représentant le fichier décritTout d'abord découvrez comment se "forme " un cône de révolution, c'est l’hypoténuse du triangle rectangle qui décrit le  cône quand  le triangle rectangle tourne autour d'un côté de l'angle droit. Voyez tourner cette hypoténuse et faites varier hauteur (h) et rayon (r) de la base qui est un cercle. le fichier correspondant est ici.

Un autre document  permet de bouger le plan de la base , de faire apparaître un plan qui coupe ce cône, etc , bouger les curseurs dans le graphique de  droite..Il permet d'examiner le cône dans différentes situations, le fichier Géogebra est ici.
 Cette  troisième page  permet de découvrir , le vocabulaire du cône de révolution , son patron et les grandeurs correspondantes, le fichier est ici .

Ce fichier  permet d'observer la différence entre le cône de révolution et le cône quelconque. Dans ce fichier la base reste un cercle dont le centre est l'origine 0 des axes, il est possible de faire varier le rayon de 0.1 à 5, le sommet peut bouger, en faisant varier sa position dans un plan parallèle au plan du cône, en modifiant a et b, deux des coordonnées du sommet, le sommet est toujours à la même distance, c du plan de la base, sa hauteur reste constante tant que c ne varie pas. Après avoir modifier a, b, c ou r dans Géogébra sélectionner "affichage" puis "rafraîchir" . Quand S est "dans l'axe du cercle", sur la perpendiculaire au cercle en son centre, c'est à dire que la hauteur passe par le centre du cercle,  le cône de révolution apparaît, si S est hors de l'axe, le cône de révolution disparaît. Pour visualiser le cône quelconque, bouger α , la génératrice SB va "bouger" laissant une trace qui visualise ce volume, pour recommencer après avoir modifier a, b, c , r ou α dans Géogébra sélectionner à nouveau  "affichage" puis "rafraîchir".   Si la forme se modifie, on observe que le volume du cône reste constant lorsque la hauteur et la base ne changent pas.

 V=(1/3) surface de la base * hauteur.


Sphère

Issu  du travail du Collège Jule Verne Déville-les-Rouen, dans cette page  on observera La section d'une sphère par un plan produit un cercle de section et deux solides nommés calottes sphériques. On peut déterminer le rayon HP du cercle de section en fonction de la distance OH du plan de coupe au centre de la sphère en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle OPH., le fichier correspondant est ici .


Les volumes plus "complexes"

moulinOn rencontre dans la vie , certes,  des  volumes comme ceux décrits plus haut mais plus souvent les volumes rencontrés  sont  plus ou moins des associations de  ces  derniers.

Imaginons un cylindre ou un prisme droit surmontés d'un cône ou d'une pyramide , à quoi pense t-on . cliquez ici et vous verrez se déplacer les"objets", quel est la surface des "objets" séparés et réunis?  Dans le cas de la tour, combien y a-t-il d'arêtes et de faces sur les figures séparées? Combien, une fois celles-ci rassemblées?? le fichier correspondant est  ici .


maison décomposée en volumes simples  Observer une maison simplifiée,  essayer, en la regardant de plusieurs façons,  de la décomposer en 2 volumes un prisme droit à base rectangulaire et un autre prisme droit à base  triangulaire. Combien y a-t-il d'arêtes et de faces sur les figures séparées , combien, une fois celles-ci rassemblées? Vous pouvez modifier, avec les curseurs, l'aspect, regarder sur plusieurs angles, séparer les deux parties. Les curseurs a et b représentent la longueur et la largeur de la maison, Pour visualiser le patron , curseur de séparation complètement à gauche, l'ensemble est bleu, cocher le patron, déplier le. Pour voir l'éclaté décocher "monter patron", séparer les deux parties et regarder dans l'orientation que vous souhaitez. Le fichier *.ggb est ici .maison éclaté

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